공정제어 - 라플라스(Laplace) 변환- (1)

공정의 계산이나 수학적인 표현을 나타낼 때는 미분방정식이 주로 이용된다. 이런 미분방정식을 대수방정식으로 전환시켜주는 라플라스 변환을 통해서 공정제어 시스템의 표현과 해석이 더 쉽게 이뤄질 수 있다.

 

- 라플라스 변환 (s에 대한 함수)

- 라플라스 역변환 (t에 대한 함수)

- 미분방정식 (t에 대한 함수)

 

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1. 라플라스 변환

라플라스의 정의는 다음과 같다.

 

라플라스의 정의

 

시간 t=0 일 때 f(t)=0으로 정의된다. 일반적으로 정상상태로 유지되는 공정에 변화가 일어나기 시작할 때의 시점을 t=0이라고 정의한다.

 

 

 

 

 

2. 주요 함수의 라플라스 변환

 

다음 표안에 있는 라플라스 변환은 무조건 암기를 해야한다. 가장 기초적인 라플라스 변환이며 자주 쓰이기 때문에 암기를 하는 것이 좋다.

 

f(t)	F(s) = ℒ{f(t)}
u(t)	1/s
t	1/s^2
t^n	n!/s^(n+1)
e^-at	1/(s+a)
te^-at	1/(s+a)^2
sinwt	w/(s^2 + w^2)
coswt	s/(s^2 + w^2)
sinhwt	w/(s^2 - w^2)
coshwt	s/(s^2 - w^2)
e^-at*sinwt	w/((s+a)^2 + w^2)
e^-at*coswt	s+a/((s+a)^2 + w^2)

 

 

 

3. 라플라스 변환의 특성

(1) 선형성

: 라플라스의 변환도 상수처럼 분배법칙이 성립한다.

 

 

(2) 시간지연

: 공정변수의 변화가 시간에 따라 지연되어 나타나는 현상

 

 

(3) 미분식의 라플라스 변환

: 다음의 방법으로 미분된 식을 라플라스로 변환할 수 있다.

 

 

ex) 다음 방정식을 라플라스 변화시켜 F(s)를 구하여라. (단 f(0) = 0)

 

 

 

(4) 적분식의 라플라스 변환

: 적분되어 있는 함수를 라플라스 하면 다음과 같다.

 

 

(5) 초기값 정리

 

ex) F(s)가 다음과 같을 때 F(s)의 초기값은 얼마인가?

 

풀이

 

 

(6) 최종값 정리

 

ex) F(s)가 다음과 같을 때 F(s)의 최종값은?

 

풀이

 

 

 

4. 라플라스 역변환

: t를 s에 대한 함수로 바꾸는 것이 라플라스 변환이었다면 s를 t의 함수로 바꾸는 것이 역라플라스 변환이다.

 

 

 

ex) F(s)가 다음의 함수와 같을 때 f(t)를 구하여라.

 

풀이

 

역라플라스 변환을 하기 위해서는 (1)주어진 함수를 부분 분수로 나타내는 것과 (2)어떤 함수를 라플라스 해야 이 식이 나오는 지를 알아야 문제를 풀 수 있다.