공정제어 - 1차 공정

- 1차 공정은 모델식이 1차 미분방정식으로 표현되는 공정을 말한다.(전달함수의 분모는 S의 1차식)

 

- 1차 공정의 전달함수로부터 입력변수의 변화에 대한 출력변수의 시간에 따른 응답을 구함으로써 1차 공정의 동적특성을 파악할 수 있다.

 

- 공정의 동적특성을 명확히 함으로써 요구되는 제어구조를 고안할 수 있다.

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1. 1차 공정

 

입력변수를 x, 출력변수를 y라고 하면 1차 공정의 모델식은 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다.

 

a(dy/dt) + by = cx(t)

 

이때, b가 0이 아닐 경우 방정식을 다음과 같이 정리할 수 있다.

 

 

여기서 계수 값을 시간상수와 이득값으로 치환하고 식을 정리하면 다음과 같은 식을 얻게 된다.

 

초기값을 0이라 하고 라플라스 변환을 통해 식을 정리하면 다음과 같은 전달함수를 얻게 된다.

 

 

 

 

ex) 교반공정의 모델링

다음 그림과 같은 교반공정이 있다고 가정하자.

 

 

물질수지를 통해 식을 세워보면

 

 

 

 

 

2. 1차 공정의 응답형태

(1) 계단응답

① 1차 공정의 전달함수

② 입력함수

: A 크기의 계단 입력

 

③ 출력함수(s)

 

④ 출력함수(t)

: Y(s)를 역라플라스 변환

 

 

 

 

 

(2) 단위 임펄스 응답

① 1차 공정의 전달함수

② 입력함수

X(s) = 1

 

③ 출력함수(s)

④ 출력함수(t)

: Y(s)를 역라플라스 변환

 

 

 

 

 

(3) 블록펄스(Block Pulse) 응답

① 1차 공정의 전달함수

② 입력함수

③ 출력함수(s)

 

④ 출력함수(t)

: Y(s)를 역라플라스 변환

 

 

 

 

 

 

 

(4) 경사함수 응답

① 1차 공정의 전달함수

② 입력함수

③ 출력함수(s)

④ 출력함수(t)

: Y(s)를 역라플라스 변환

 

 

 

 

 

 

 

(5) Sine 함수 응답

① 1차 공정의 전달함수

② 입력함수

③ 출력함수(s)

④ 출력함수(t)

: Y(s)를 역라플라스 변환

 

 

 

 

cf. 여러 공정 입력 그래프와 함수

 

입력	그래프	함수	라플라스 변환
임펄스(Impulse)		u(t)= δ(t)	U(s)= 1
계단(Step)		u(t)=A, t>=0	U(s)=A/s
블록 임펄스		u(t)=A	U(s)=A/s(1-e^ts)
경사(Ramp)		u(t)=at, t>=0 u(t)=0, t<0	U(s)=a/s^2
사인파		u(t)=Asinwt, t>=0	U(s)=Aw/(s^2+w^2)