공정제어 - 2차 공정

: 2차 공정은 공정의 모델식이 2차 미분방정식으로 주어지는 공정을 말한다.

 

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1. 2차 공정의 전달함수

 

2차 공정 모델의 일반식은 다음과 같다.

 

 

 

2. 2차 공정의 계단응답

2차 공정의 전달함수에서 입력변수가 단위계단인 경우 다음과 같다.

 

 

여기서 분모를 0으로 둔 방정식을 특성방정식이라 한다. 이때 특성방정식의 근 r1과 r2 로부터 응답 Y(t)는 제동비의 값에 따라 좌우되는 것을 알 수 있다. 제동비의 값에 따라 변하는 것은 다음과 같다.

 

① 제동비 < 1

- 과소 감쇠한 시스템(Underdamped System)

- r1과 r2는 허근

- 제동비가 감소할수록 진동의 폭은 커짐

 

② 제동비 = 1

- 임계 감쇠된 시스템(Critically Damped System)

- r1과 r2는 중근

- Y(t)는 진동을 보이지 않으면서 정상상태값에 가장 빠르게 도달함

 

③ 제동비 > 1

- 과도 감쇠된 시스템(Overdamped System)

- r1과 r2는 서로 다른 2개의 실근

- 응답은 진동을 보이지 않으나 제동비가 1인 경우보다 느리게 정상상태 값에 도달함

 

 

※ 2차 공정의 계단응답 특성

- 시간상수가 작으면 응답이 빠르다.

 

- 제동비가 1보다 작을때만 진동이 일어난다.

 

- 제동비가 커질수록 응답이 느려진다.

 

- 제동비가 1일 때 진동이 없으면서 가장 빠른 응답을 가진다.

 

 

 

※ 진동비가 1보다 작은 과소 감쇠 공정의 응답 특성

① 오버슈트(Overshoot)

: 응답이 정상상태값을 초과하는 정도를 나타내는 양을 의미한다.

 

 

② 감쇠비(Decay ratio)

: 진폭이 줄어드는 비율을 의미한다.

 

 

③ 주기

: 진동의 주기를 의미한다.

 

 

④ 진동수

: 진동수f는 주기T의 역수로 진동응답의 시간당 진동수를 의미한다.

 

 

⑤ 고유진동주기와 고유진동수

: 고유진동주기와 고유진동수는 제동비가 0 일때의 주기와 진동수를 의미한다.

 

 

⑥ 상승시간(Rise Time, tR)

: 상승시간은 응답이 최초로 정상상태값에 도달하는데 걸린 시간을 의미한다.

 

⑦ 안정시간(Setting Time)

: 안정시간은 응답이 최종값의 ±5% 이내에 위치하기 시작할때까지 걸린 시간을 의미한다.

 

 

 

 

 

3. 2차 공정의 Sine 응답

진폭이 A인 Sine 함수 X(t)가 Asinwt이면 출력변수Y(s)는 다음과 같다.

 

 

 

시간이 많이 흐른 상태에서는 exp 항이 0에 가까워지기 때문에 Y(t)는 일정한 진동을 가지는 sine 곡선이 된다.

 

 

 

위 식과 같이 일정한 진동을 가지는 응답을 시스템의 진동응답이라고 한다.

이때 진폭비(Amplitude Ratio)는 다음과 같다.