공정제어 - 라플라스(Laplace) 변환 - (2)

1. 라플라스를 이용한 미분방정식의 풀이

: 일반적으로 공정의 동적 특성은 미분방정식으로 나타낸다. 입력변수가 x(t)이고 출력변수가 y(t)일 때 공정의 동적특성이 선형 2차 미분방정식으로 나타내는 경우 다음과 같다.

 

 

초기조건 y(0)이 모두 0이라고 한다면 위의 식은 라플라스 변환을 통해 다음과 같이 변한다.

 

 

 

이때 G(s)를 공정의 전달함수라고 한다. 공정의 전달함수는 입력변수와 출력변수 사이의 관계를 명료하게 나타내는 함수의 역할을 하기에 공정제어 시스템 분석이나 설계에서 중요하게 사용된다.

 

 

 

ex) 공정의 동적특성이 2차 선형미분방정식으로 나타나는 경우, 시간에 따른 출력y(t)를 구하라.

 

 

풀이

 

주어진 2차 미분방정식을 라플라스 하면 다음과 같다.

 

 

정리한 Y(s)함수를 부분 분수로 바꿔준 다음 라플라스 역변환을 통해 y(t) 함수를 구해주면 된다.

 

 

 

2. 선형화 방법

(1) 편차변수를 이용하는 방법

편차변수는 어떤 공정변수의 시간에 따른 값과 정상상태값의 차이로 나타낸다. 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.

 

 

(2) Tayolr 급수 전개를 이용하는 방법

 

 

ex) 복사에 의한 열전달식 q=εσAT^4를 선형화하면 어떻게 되는가?

 

풀이

 

 

 

 

3. 공정제어 – 화학공정의 모델링

공정의 모델이란 공정을 수식으로 적절하게 표현해주는 것을 의미한다. 이 모델을 활용함으로써 실제 조업조건의 변화가 공정에 미치는 영향들을 컴퓨터에 의해 파악할 수 있다. 공정에 대한 모델링은 물질수지식, 에너지수지식, 열역학적 물성치, 모멘텀 수지식, 전달현상 관계식 등에서 얻을 수 있으며, 일반적으로 미분방정식과 대수방정식들로 이루어진다.

 

1) 액체 저장 시스템 모델링

 

다음과 같은 액체 저장 시스템이 있다고 가정하자.

 

(1) 액체 저장 탱크의 물질수지식

 

(2) 유출유량 q와 액위h의 관계

① 유출유량 q가 액위h와 비례하는 경우

② 유출유량 q가 액위h의 제곱근에 비례하는 경우

 

 

 

2) 가열시스템 모델링

다음과 같은 가열 시스템이 있다고 가정하자.

(1) 가열시스템의 물질수지식

(2) 가열시스템의 에너지수지식

: 시간에 따른 에너지 변화 = 유입열 – 유출열 + 가열량에서